教育職員免許状書換申請書には、戸籍どおりの名前（漢字）のほうが良いですか。

提出された戸籍に記載されている名前に書換えますので、戸籍どおりに記入していただいて結構です。
なお、平成21年4月以降、教員免許更新制の導入に伴い整備された全国共通の教員免許システムでは、ＪＩＳ規格の第2水準までの常用漢字の使用が原則となっています。
たとえば、「いわゆるはしご高」を「高」に、「立」の崎を「大」の崎に、「土に口」の「吉」を「士に口」の「吉」にといったようにＪＩＳ規格の第2水準までの常用漢字に置き替えたうえで教員免許状を発行しますが、文部科学省からは置き替えた表記であっても免許状として有効である旨の見解が出されていますので、ご理解ください。